यदि को 10 से विभाजित किया जाए, तो क्या शेष रहेगा ?
सही उत्तर: (b) 3
जब 3^2019 को 10 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हमें 3 की घातों के इकाई के अंकों के पैटर्न का अवलोकन करना होगा: 3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27 (इकाई का अंक 7), 3^4 = 81 (इकाई का अंक 1)। 3^4 के बाद, इकाई के अंक 4 के चक्र में दोहराए जाते हैं: 3, 9, 7, 1। 3^2019 के लिए चक्र में स्थिति ज्ञात करने के लिए, हम घातांक 2019 को 4 से विभाजित करते हैं: 2019 को 4 से भाग देने पर भागफल 504 और शेषफल 3 प्राप्त होता है (चूंकि 2016, 4 से विभाज्य है)। शेषफल 3 का अर्थ है कि 3^2019 का इकाई का अंक चक्र के तीसरे पद यानी 7 के अनुरूप है। जब किसी संख्या को 10 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल उसका इकाई का अंक ही होता है। अतः 3^2019 को 10 से विभाजित करने पर शेष 7 प्राप्त होगा। विकल्पों के अनुसार, सही उत्तर विकल्प (c) है, जिसका सूचकांक 2 है।
In English (Question & Model Answer)
If is divided by 10, then what is the remainder?
Correct Option: (b) 3
To find the remainder when 3^2019 is divided by 10, we need to look at the pattern of the last digits (units digits) of powers of 3: 3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27 (units digit 7), 3^4 = 81 (units digit 1). Beyond 3^4, the units digits repeat in a cycle of 4: 3, 9, 7, 1. To find the position in the cycle for 3^2019, we divide the exponent 2019 by 4: 2019 / 4 gives a quotient of 504 and a remainder of 3 (since 2016 is divisible by 4, 2019 = 4 × 504 + 3). A remainder of 3 means the units digit of 3^2019 corresponds to the 3rd term in the cycle, which is 7. When any number is divided by 10, the remainder is simply its units digit. Therefore, the remainder when 3^2019 is divided by 10 is 7. Looking at the options, option (c) corresponds to 7. Wait, let's verify: Option (a) is 1, (b) is 3, (c) is 7, (d) is 9. Thus, the correct option index for 7 is 2.