यदि R और S दोनों अलग-अलग पूर्ण संख्याएं हो और दोनों 5 से विभाज्य हो तो इनमें से कौन-ता अनिवार्यत: सही नहीं है ?
सही उत्तर: (b) R + S, 10 से विभाज्य है
चूंकि R और S दो अलग-अलग पूर्णांक हैं जो 5 से विभाज्य हैं, इसलिए मान लीजिए R = 5m और S = 5n, जहाँ m और n अलग-अलग पूर्णांक हैं। प्रत्येक विकल्प का परीक्षण करते हैं कि कौन सा अनिवार्यतः सत्य नहीं है: (a) R - S = 5(m - n), जो सदैव 5 से विभाज्य है। (सदैव सत्य) (b) R + S = 5(m + n)। इसे 10 से विभाज्य होने के लिए (m + n) का एक सम संख्या होना आवश्यक है। यदि हम R = 5 और S = 10 लेते हैं (दोनों भिन्न हैं और 5 से विभाज्य हैं), तो: R + S = 5 + 10 = 15, जो 10 से विभाज्य नहीं है। अतः यह कथन अनिवार्यतः सत्य नहीं है। (c) R × S = 25mn, जो सदैव 25 से विभाज्य है। (सदैव सत्य) (d) R^2 + S^2 = 25(m^2 + n^2), जो सदैव 5 से विभाज्य है। (सदैव सत्य) अतः, कथन (b) अनिवार्यतः सत्य नहीं है।
In English (Question & Model Answer)
If R and S are different integers both divisible by 5, then which of the following is not necessarily true?
Correct Option: (b) R + S is divisible by 10
Since R and S are different integers both divisible by 5, let R = 5m and S = 5n, where m and n are distinct integers. Let's evaluate each option to see which is not necessarily true: (a) R - S = 5m - 5n = 5(m - n), which is always divisible by 5. (Always True) (b) R + S = 5m + 5n = 5(m + n). For this to be divisible by 10, (m + n) must be an even number. Let's test with a counterexample: Let R = 5 and S = 10 (both are distinct and divisible by 5). Here, R + S = 5 + 10 = 15, which is NOT divisible by 10. Thus, this option is not necessarily true. (c) R × S = (5m) × (5n) = 25mn, which is always divisible by 25. (Always True) (d) R^2 + S^2 = (5m)^2 + (5n)^2 = 25(m^2 + n^2), which is always divisible by 5. (Always True) Hence, statement (b) is not necessarily true.