यदि 2 लड़कों और 2 लड़कियों को एक पंक्ति में इस व्यवस्था में खड़ा करना हो कि लड़कियां एक-दूसरे के अगल-बगल खड़ी न हों, तो कितनी संभव व्यवस्थाएं हो सकती हैं?
सही उत्तर: 12
2 लड़कों (B1, B2) और 2 लड़कियों (G1, G2) को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के लिए कि लड़कियाँ एक-दूसरे के अगल-बगल न खड़ी हों, हम व्यवकलन (घटाने की) विधि का उपयोग कर सकते हैं। 4 व्यक्तियों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीकों की संख्या 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 है। अब, हम उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करेंगे जिनमें दोनों लड़कियाँ हमेशा एक-दूसरे के साथ खड़ी होती हैं। दोनों लड़कियों को एक इकाई मानकर, हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए कुल 3 इकाइयाँ होंगी (लड़कियों का समूह, B1, और B2)। इन 3 इकाइयों को 3! = 6 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। लड़कियों के समूह के भीतर, दोनों लड़कियाँ आपस में 2! = 2 तरीकों से व्यवस्थित हो सकती हैं। अतः, लड़कियों के एक साथ होने वाली व्यवस्थाओं की कुल संख्या 6 × 2 = 12 है। इसलिए, ऐसी व्यवस्थाएं जहाँ लड़कियाँ अगल-बगल नहीं खड़ी हैं = कुल व्यवस्थाएं - एक साथ खड़ी होने की व्यवस्थाएं = 24 - 12 = 12।
In English (Question & Model Answer)
If 2 boys and 2 girls are to be arranged in a row so that the girls are not next to each other, how many possible arrangements are there?
Correct Option: 12
To arrange 2 boys (B1, B2) and 2 girls (G1, G2) in a row such that the girls are not next to each other, we can use the subtraction method. The total number of unrestricted arrangements of 4 people in a row is given by 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Now, let us find the number of arrangements where the two girls are always next to each other. Treating the two girls as a single entity, we have 3 entities to arrange (the block of girls, B1, and B2). These 3 entities can be arranged in 3! = 6 ways. Within the block, the 2 girls can be arranged among themselves in 2! = 2 ways. Thus, the number of arrangements where girls are together is 6 × 2 = 12. Therefore, the number of arrangements where the girls are not next to each other is Total arrangements - Arrangements where girls are together = 24 - 12 = 12.