यदि X, -3 और -1 के बीच में है तथा Y, -1 और 1 के बीच में है, तो निम्नलिखित में से किनके बीच में होगा?
सही उत्तर: 0 और 9
हमें दिया गया है कि X, -3 और -1 के बीच में है तथा Y, -1 और 1 के बीच में है। इसे असमानताओं (inequalities) के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: -3 < X < -1 -1 < Y < 1 सबसे पहले, हम X^2 की सीमा निर्धारित करते हैं। -3 < X < -1 का वर्ग करने पर (चूंकि मान ऋणात्मक हैं, वर्ग करने पर क्रम बदल जाता है): 1 < X^2 < 9 प्राप्त होता है। अगला, हम Y^2 की सीमा निर्धारित करते हैं। -1 < Y < 1 के लिए, Y^2 का न्यूनतम मान 0 होगा (जब Y = 0 हो) और अधिकतम मान 1 से कम होगा। अतः, 0 <= Y^2 < 1। अब, X^2 - Y^2 की सीमा ज्ञात करते हैं: - न्यूनतम मान तब होगा जब X^2 न्यूनतम (1 से ठीक बड़ा) और Y^2 अधिकतम (1 से ठीक छोटा) हो: X^2 - Y^2 > 1 - 1 = 0। - अधिकतम मान तब होगा जब X^2 अधिकतम (9 से ठीक छोटा) और Y^2 न्यूनतम (0) हो: X^2 - Y^2 < 9 - 0 = 9। अतः, X^2 - Y^2 का मान 0 और 9 के बीच होगा। इसलिए, विकल्प D सही उत्तर है।
In English (Question & Model Answer)
If X is between -3 and -1, and Y is between -1 and 1, then is in between which of the following?
Correct Option: 0 and 9
We are given that X is between -3 and -1, and Y is between -1 and 1. This can be written as inequalities: -3 < X < -1 -1 < Y < 1 First, we determine the range of X^2. Squaring the inequality -3 < X < -1 (since the values are negative, squaring reverses the inequality sign direction): 1 < X^2 < 9. Next, we determine the range of Y^2. For -1 < Y < 1, the minimum value of Y^2 is 0 (which occurs when Y = 0) and the maximum value approaches 1 (but is strictly less than 1). Thus, 0 <= Y^2 < 1. Now, we find the range of X^2 - Y^2: - Minimum value of X^2 - Y^2 occurs when X^2 is at its minimum and Y^2 is at its maximum. Since X^2 > 1 and Y^2 < 1, X^2 - Y^2 > 1 - 1 = 0. - Maximum value of X^2 - Y^2 occurs when X^2 is at its maximum and Y^2 is at its minimum. Since X^2 < 9 and Y^2 >= 0, X^2 - Y^2 < 9 - 0 = 9. Therefore, X^2 - Y^2 is strictly between 0 and 9. Therefore, Option D is the correct answer.