यदि P का अर्थ 'से बृहत्तर (>)' है; Q का अर्थ 'से लघुतर (<)' है; R का अर्थ 'से बृहत्तर नहीं (≯)' है; S का अर्थ 'से लघुतर नहीं (≮)' है और T का अर्थ 'बराबर (=)' है, तो निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:
1. यदि 2x(S)3y और 3x(T)4z, तो 9y(P)8z.
2. यदि x(Q)2y और y(R)z, तो x(R)z.
उपर्युक्त कथनों में से कौन-सा/कौन-से सही है/हैं?
सही उत्तर: (d) न तो 1 और न ही 2
कथन 1 का मूल्यांकन: दिए गए प्रतीकों के अनुसार, P का अर्थ '>' है, T का अर्थ '=' है, और S का अर्थ 'से लघुतर नहीं' यानी '≥' है। दिया गया है: 2x(S)3y ⇒ 2x ≥ 3y, और 3x(T)4z ⇒ 3x = 4z ⇒ x = 4z/3. पहले असमिका में x का मान रखने पर: 2(4z/3) ≥ 3y ⇒ 8z/3 ≥ 3y ⇒ 8z ≥ 9y ⇒ 9y ≤ 8z. कथन में निष्कर्ष 9y(P)8z दिया गया है, जिसका अर्थ 9y > 8z है। चूंकि 9y ≤ 8z है, इसलिए कथन 1 गलत है। कथन 2 का मूल्यांकन: Q का अर्थ '<' है और R का अर्थ 'से बृहत्तर नहीं' यानी '≤' है। दिया गया है: x(Q)2y ⇒ x < 2y, और y(R)z ⇒ y ≤ z. हमें जांचना है कि क्या x(R)z (अर्थात x ≤ z) सत्य है। मान लीजिए z = 1 है। चूंकि y ≤ z है, इसलिए y = 1 ले सकते हैं। चूंकि x < 2y है, हम x = 1.5 ले सकते हैं (चूंकि 1.5 < 2 सत्य है)। लेकिन यहाँ x > z (1.5 > 1) हो जाता है, जो x ≤ z का खंडन करता है। इसलिए कथन 2 भी गलत है। अतः, न तो कथन 1 और न ही कथन 2 सही है।
In English (Question & Model Answer)
If P means 'greater than (>)'; Q means 'less than (<)'; R means 'not greater than (≯)'; S means 'not less than (≮)' and T means 'equal to (=)', then consider the following statements:
1. If 2x(S)3y and 3x(T)4z, then 9y(P)8z.
2. If x(Q)2y and y(R)z, then x(R)z.
Which of the statements given above is/are correct?
Correct Option: (d) Neither 1 nor 2
To evaluate Statement 1: The symbols are defined as P for '>', T for '=', and S for 'not less than' (which means '≥'). Given: 2x(S)3y ⇒ 2x ≥ 3y, and 3x(T)4z ⇒ 3x = 4z ⇒ x = 4z/3. Substituting x = 4z/3 into the first inequality: 2(4z/3) ≥ 3y ⇒ 8z/3 ≥ 3y ⇒ 8z ≥ 9y ⇒ 9y ≤ 8z. The statement concludes 9y(P)8z, which means 9y > 8z. Since we derived 9y ≤ 8z, Statement 1 is incorrect. To evaluate Statement 2: Q is defined as '<' and R is defined as 'not greater than' (which means '≤'). Given: x(Q)2y ⇒ x < 2y, and y(R)z ⇒ y ≤ z. We need to check if x(R)z, which means x ≤ z. Let us test with values: Let z = 1. Since y ≤ z, let y = 1. Since x < 2y, we can choose x = 1.5 (as 1.5 < 2 is true). But here, x > z (since 1.5 > 1), which contradicts x ≤ z. Thus, Statement 2 is also incorrect. Therefore, neither Statement 1 nor Statement 2 is correct, making option (d) the correct choice.