यदि दो भिन्न संख्याओं के HCF और LCM का गुणनफल, उनमें से एक संख्या का घन है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा/कौन-से कथन सही है/हैं?
I. संख्याओं के बीच का अंतर एक सम संख्या है।
II. संख्याओं में से एक संख्या एक पूर्ण वर्ग है।
नीचे दिए गए कूट का प्रयोग कर उत्तर चुनिए।
सही उत्तर: (d) न तो I और न ही II
मान लीजिए दो भिन्न संख्याएँ a और b हैं। हम जानते हैं कि किन्हीं दो संख्याओं के लिए, HCF(a,b) × LCM(a,b) = a × b होता है। प्रश्न के अनुसार, HCF × LCM = a^3, अतः a × b = a^3, जिसका अर्थ है b = a^2। चूँकि a और b भिन्न धनात्मक पूर्णांक हैं, b = a^2 होने पर एक संख्या (b) एक पूर्ण वर्ग है (कथन II सही है)। अब कथन I का परीक्षण करते हैं: संख्याओं का अंतर a^2 - a = a(a - 1) है। यदि a = 2, b = 4 है, तो अंतर 2 (सम) है। यदि a = 3, b = 9 है, तो अंतर 6 (सम) है। किसी भी पूर्णांक a के लिए a(a - 1) हमेशा दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल होता है और इसलिए सदैव एक सम संख्या होती है (कथन I सही है)। अतः कथन I और II दोनों सही हैं।
In English (Question & Model Answer)
If the product of the HCF and LCM of two distinct numbers is the cube of one of the numbers, then which of the following statements is/are correct?
I. The difference of the numbers is an even number.
II. One of the numbers is a perfect square.
Select the answer using the code given below.
Correct Option: (d) Neither I nor II
Let the two distinct numbers be a and b. We know that for any two numbers, HCF(a,b) × LCM(a,b) = a × b. According to the question, HCF × LCM = a^3 (assuming one of the numbers is a), so a × b = a^3, which implies b = a^2. Since a and b are distinct positive integers, if b = a^2, then one of the numbers (b) is indeed a perfect square (Statement II is correct). Let's test Statement I: The difference of the numbers is a - b = a - a^2 = a(1 - a). If a = 2, b = 4, the difference is 4 - 2 = 2 (even). If a = 3, b = 9, the difference is 9 - 3 = 6 (even). If a = 1, b = 1 (not distinct). For any integer a >= 2, a^2 - a = a(a - 1), which is always the product of two consecutive integers and hence always an even number (Statement I is correct). Therefore, both statements I and II are correct.