X कतिपय विषम संख्याओं का संचय है जबकि Y कतिपय सम संख्याओं का संचय है। T में जो संख्याएँ हैं, वे सभी या तो X में से हैं या Y में से हैं। क्या T की प्रत्येक संख्या Y में से है?
कथन I : T में सम्मिलित किन्हीं दो संख्याओं का योग सम है।
कथन II : यदि p और q दोनों को T से लिया गया है, तो (p-1)q सम है।

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A.(a) इस विकल्प का चयन कीजिए, यदि प्रश्न का उत्तर, इन कथनों में से केवल एक का उपयोग कर दिया जा सकता है, किन्तु दूसरे कथन का उपयोग कर नहीं दिया जा सकता है
B.(b) इस विकल्प का चयन कीजिए, यदि प्रश्न का उत्तर, दोनों में से केवल किसी भी एक कथन का उपयोग कर दिया जा सकता है
C.(c) इस विकल्प का चयन कीजिए, यदि प्रश्न का उत्तर दोनों कथनों का एक साथ उपयोग कर दिया जा सकता है, किन्तु दोनों में से केवल किसी भी एक कथन का उपयोग कर नहीं दिया जा सकता है
D.(d) इस विकल्प का चयन कीजिए, यदि प्रश्न का उत्तर दोनों में से किसी भी कथन का उपयोग कर नहीं दिया जा सकता हैसही
व्याख्या एवं हल

सही उत्तर: (D) इस विकल्प का चयन कीजिए, यदि प्रश्न का उत्तर दोनों में से किसी भी कथन का उपयोग कर नहीं दिया जा सकता है

X विषम संख्याओं का और Y सम संख्याओं का संग्रह है। कथन I के अनुसार T की किन्हीं दो संख्याओं का योग सम है, जिससे केवल यह पता चलता है कि T की सभी संख्याएँ एक ही प्रकृति (या तो सभी विषम या सभी सम) की हैं। कथन II के अनुसार (p−1)q(p-1)q सम है, जो सभी विषम संख्याओं (जहाँ p−1p-1 सम हो) अथवा सभी सम संख्याओं (जहाँ qq सम हो) दोनों स्थितियों में सत्य होता है। यदि T की सभी संख्याएँ X से (विषम) हों तो दोनों कथन संतुष्ट होते हैं और उत्तर 'नहीं' है; यदि T की सभी संख्याएँ Y से (सम) हों तब भी दोनों कथन संतुष्ट होते हैं और उत्तर 'हाँ' है। अतः दोनों कथनों को मिलाकर भी प्रश्न का निश्चित उत्तर नहीं दिया जा सकता।

In English (Question & Model Answer)

X is a collection of certain odd numbers whereas Y is a collection of certain even numbers. T consists of the numbers all of which are either from X or from Y. Is every number of T from Y?
Statement I : The sum of any two numbers belonging to T is even.
Statement II : If both p and q are picked from T, then (p-1)q is even.

A.(a) Select this option if the question can be answered using one of these statements alone, but cannot be answered using other statement
B.(b) Select this option if the question can be answered using either statement alone
C.(c) Select this option if the question can be answered using both the statements together, but cannot be answered using either statement alone
D.(d) Select this option if the question cannot be answered even using any of the statementsCorrect

Correct Answer: (D) Select this option if the question cannot be answered even using any of the statements

Collection X contains odd numbers and collection Y contains even numbers. For Statement I, the sum of any two numbers in T is even, which only implies that all elements of T have the same parity (either all odd from X or all even from Y). For Statement II, if pp is odd, (p−1)(p-1) is even, making (p−1)q(p-1)q even for any qq; likewise, if qq is even, (p−1)q(p-1)q is even for any pp. Thus, if T contains only odd numbers from X, both statements hold and the answer is 'No'. If T contains only even numbers from Y, both statements also hold and the answer is 'Yes'. Because both scenarios remain valid under both statements combined, the question cannot be answered.

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