X कतिपय विषम संख्याओं का संचय है जबकि Y कतिपय सम संख्याओं का संचय है। T में जो संख्याएँ हैं, वे सभी या तो X में से हैं या Y में से हैं। क्या T की प्रत्येक संख्या Y में से है?
कथन I : T में सम्मिलित किन्हीं दो संख्याओं का योग सम है।
कथन II : यदि p और q दोनों को T से लिया गया है, तो (p-1)q सम है।
सही उत्तर: (a) इस विकल्प का चयन कीजिए, यदि प्रश्न का उत्तर, इन कथनों में से केवल एक का उपयोग कर दिया जा सकता है, किन्तु दूसरे कथन का उपयोग कर नहीं दिया जा सकता है
X विषम संख्याओं का और Y सम संख्याओं का संचय है। T में X या Y की संख्याएँ हैं। क्या T की प्रत्येक संख्या Y से है? कथन I: T की किन्हीं दो संख्याओं का योग सम है। इसका अर्थ है कि T की सभी संख्याएँ या तो सभी सम हैं या सभी विषम हैं। चूँकि वे सभी विषम (X से) भी हो सकती हैं, इसलिए अकेले कथन I से यह निश्चित नहीं होता कि सभी Y से हैं। कथन II: यदि p और q को T से लिया जाए, तो (p - 1)q सम है। इससे भी निश्चित रूप से यह सिद्ध नहीं होता कि T में केवल Y की संख्याएँ हैं। अतः केवल कथन I पर्याप्त नहीं है।
In English (Question & Model Answer)
X is a collection of certain odd numbers whereas Y is a collection of certain even numbers. T consists of the numbers all of which are either from X or from Y. Is every number of T from Y?
Statement I : The sum of any two numbers belonging to T is even.
Statement II : If both p and q are picked from T, then (p-1)q is even.
Correct Option: (a) Select this option if the question can be answered using one of these statements alone, but cannot be answered using other statement
X contains odd numbers, Y contains even numbers, and T is a subset of X union Y. We need to determine if every number of T is from Y (i.e., T contains only even numbers). Statement I: The sum of any two numbers belonging to T is even. The sum of two integers is even if and only if both are even or both are odd. If T contained an odd number and an even number, their sum would be odd, violating the statement. Therefore, all numbers in T must have the same parity (either all even or all odd). However, they could all be odd (from X) or all even (from Y). Thus, Statement I alone is not sufficient. Statement II: If both p and q are picked from T, then (p - 1)q is even. Let's analyze this condition: (p - 1)q is even unless both p - 1 and q are odd, which means p is even and q is odd. If T contains an odd number from X and an even number from Y, we can pick p as the odd number and q as the even number, making (p - 1)q = (odd - 1) x even = even x even = even. This does not rule out mixed numbers. Wait, let's test if Statement I alone is sufficient or if Statement I gives the answer: Statement I states the sum of any two numbers in T is even, meaning all numbers in T are either all odd or all even. Thus Statement I cannot uniquely prove they are from Y. Let's re-verify: Statement I alone is insufficient. Let's check options.