X, Y और Z आगे की ओर क्रमशः 4', 6' और 5' की छलांग लगाते हैं। 8 AM पर वे सभी 199' के निशान पर पहुँचते हैं। यदि वे सभी 9 AM तक 1000' के निशान को पार करते हैं, तो वे सभी निशान 195' और 1000' के बीच एक ही निशान पर कितनी बार पहुँचेंगे (एक ही क्षण पर पहुँचना आवश्यक नहीं है)?
सही उत्तर: (c) 13
X, Y और Z की छलांगें क्रमशः 4', 6' और 5' हैं। 8 AM पर वे सभी 199' के निशान पर हैं। वे सभी एक ही निशान पर पुनः कब मिलेंगे, यह उनकी छलांगों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) पर निर्भर करेगा। LCM(4, 6, 5) = 60 feet है। इसका अर्थ है कि वे 199' से शुरू करके प्रत्येक 60 feet के अंतराल पर समान निशानों पर पहुँचेंगे। समान निशान 199 + 60k होंगे। 195' और 1000' के बीच मान ज्ञात करने के लिए: 195 <= 199 + 60k <= 1000। इसे हल करने पर 60k >= -4 (अर्थात् k >= 0) और 60k <= 801 (अर्थात् k <= 13.35) प्राप्त होता है। पूर्णांक k के मान 0 से 13 तक हो सकते हैं, जिनकी कुल संख्या 14 है।
In English (Question & Model Answer)
X, Y and Z jump forward 4', 6' and 5', respectively. At 8 AM, they all land on mark 199'. How many times will they all land on the same mark (need not be at the same moment) between mark 195' and 1000', if all of them cross mark 1000' by 9 AM?
Correct Option: (c) 13
X, Y, and Z jump forward by 4', 6', and 5' respectively. At 8 AM, they all land on mark 199'. They continue jumping at unknown frequencies, but since they start from 199' and land on the same marks, they will land on the same mark at multiples of the Least Common Multiple (LCM) of their jump lengths. The jump lengths are 4, 6, and 5. LCM(4, 6, 5) = 60 feet. This means they all land simultaneously on a common mark every 60 feet starting from 199'. The common marks will be 199 + 60k, where k is an integer. We need to find how many times they land on the same mark between mark 195' and 1000'. The sequence of common marks is 199 + 60k. Let's find the range of k such that 195 <= 199 + 60k <= 1000. For the lower bound: 199 + 60k >= 195 => 60k >= -4 => k >= 0 (since k must be an integer representing step count). For the upper bound: 199 + 60k <= 1000 => 60k <= 801 => k <= 13.35. Since k is an integer, k can take values from 0 to 13. Counting the values of k (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13), there are 14 values. Wait, let's check the lower limit condition: 'between mark 195' and 1000''. The first mark is 199 + 60(0) = 199, which is strictly greater than 195. The last mark for k = 13 is 199 + 13(60) = 199 + 780 = 979, which is <= 1000. For k = 14, 199 + 14(60) = 1039 (exceeds 1000). Thus k ranges from 0 to 13, giving 14 values. Wait, let's re-verify the count from 0 to 13: 13 - 0 + 1 = 14 times.