मान लीजिए p, q, r और s भिन्न धन पूर्णांक हैं। मान लीजिए p, q विषम हैं और r, s सम हैं। निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:
1. (p - r)^2 (qs) सम है।
2. (q - s) s सम है।
3. (q + r)^2 (p + s) विषम है।
उपर्युक्त कथनों में से कौन-से सही हैं?
सही उत्तर: (d) 1, 2 और 3
दिया गया है कि p और q विषम पूर्णांक हैं, और r और s सम पूर्णांक हैं। दिए गए कथनों का विश्लेषण इस प्रकार है: कथन 1: (p - r)^2 (qs)। चूँकि p विषम और r सम है, (p - r) विषम होगा, इसलिए (p - r)^2 भी विषम होगा। चूँकि q विषम है और s सम है, उनका गुणनफल (qs) सम होगा। विषम और सम संख्याओं का गुणनफल सदैव सम होता है। अतः, यह कथन सत्य है। कथन 2: (q - s) q^2 s। यहाँ q विषम और s सम है, इसलिए (q - s) विषम होगा। q^2 भी विषम होगा। सम संख्या s की उपस्थिति के कारण इन सभी का गुणनफल सम होगा। अतः, यह कथन भी सत्य है। कथन 3: (q + r)^2 (p + s)। चूँकि q विषम और r सम है, (q + r) विषम होगा और उसका वर्ग (q + r)^2 भी विषम होगा। इसी प्रकार p विषम और s सम होने के कारण (p + s) विषम होगा। दो विषम संख्याओं का गुणनफल सदैव विषम होता है। अतः, यह कथन भी सत्य है। चूँकि तीनों कथन सही हैं, इसलिए विकल्प (d) सही उत्तर है।
In English (Question & Model Answer)
Let p, q, r and s be distinct positive integers. Let p, q be odd and r, s be even. Consider the following statements:
1. (p - r)^2 (qs) is even.
2. (q - s) s is even.
3. (q + r)^2 (p + s) is odd.
Which of the statements given above are correct?
Correct Option: (d) 1, 2 and 3
We are given that p and q are odd integers, and r and s are even integers. Let us evaluate each statement: Statement 1: (p - r)^2 (qs). Since p is odd and r is even, (p - r) is odd, so (p - r)^2 is odd. Since q is odd and s is even, the product (qs) is even. An odd number multiplied by an even number always results in an even number. Thus, (p - r)^2 (qs) is even. Statement 1 is correct. Statement 2: (q - s) q^2 s. Since q is odd and s is even, (q - s) is odd. q^2 is also odd. Since s is even, the product containing the even factor s is even. Thus, (q - s) q^2 s is even. Statement 2 is correct. Statement 3: (q + r)^2 (p + s). Since q is odd and r is even, (q + r) is odd, so (q + r)^2 is odd. Since p is odd and s is even, (p + s) is odd. The product of two odd numbers is always odd. Thus, (q + r)^2 (p + s) is odd. Statement 3 is correct. Since all statements are correct, option (d) is the correct answer.