मान लीजिए, pp, qq और rr, 2-अंकों की संख्याएँ हैं, जहाँ p < q < r है । यदि pp + qq + rr = tt0, जहाँ tt0 कोई 3-अंकों की संख्या है, जिसका अंतिम अंक शून्य है, तो निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए :
1. p के संभव मानों की संख्या 5 है ।
2. q के संभव मानों की संख्या 6 है ।
उपर्युक्त कथनों में से कौन-सा/से सही है/हैं ?
सही उत्तर: 1 और 2 दोनों
दिया गया है कि pp, qq और rr दो-अंकों की संख्याएँ हैं जहाँ p < q < r है। अतः pp = 11p, qq = 11q, rr = 11r। इनका योग: 11p + 11q + 11r = 11(p + q + r) = tt0। चूँकि tt0 एक 3-अंकों की संख्या है जो शून्य पर समाप्त होती है और 11 से विभाज्य है, अतः tt0, 110 या 220 हो सकता है। स्थिति 1: यदि tt0 = 110, तो p + q + r = 10। संभव संयोजन (p < q < r): (1,2,7), (1,3,6), (1,4,5), (2,3,5) — कुल 4 समुच्चय। स्थिति 2: यदि tt0 = 220, तो p + q + r = 20। संभव संयोजन (p < q < r): (3,8,9), (4,7,9), (5,6,9), (5,7,8) — कुल 4 समुच्चय। कुल 8 संभव समुच्चय प्राप्त होते हैं। कथन 1: p के संभव मान 1, 2, 3, 4, 5 हैं (कुल 5 मान)। अतः कथन 1 सही है। कथन 2: q के संभव मान 2, 3, 4, 6, 7, 8 हैं (कुल 6 मान)। अतः कथन 2 सही है। दोनों कथन सही हैं, इसलिए विकल्प (c) सही है।
In English (Question & Model Answer)
Let pp, qq and rr be 2-digit numbers where p < q < r. If pp + qq + rr = tt0, where tt0 is a 3-digit number ending with zero, consider the following statements :
1. The number of possible values of p is 5.
2. The number of possible values of q is 6.
Which of the above statements is/are correct ?
Correct Option: Both 1 and 2
Let pp, qq, and rr be 2-digit numbers where p < q < r, meaning p, q, and r are distinct digits from 1 to 9. The number pp is equal to 11p, qq is 11q, and rr is 11r. Given: pp + qq + rr = tt0 11p + 11q + 11r = 11(p + q + r) = tt0. Since tt0 is a 3-digit number ending in zero and is a multiple of 11 (because 11(p + q + r) = tt0), tt0 must be a multiple of 11 that ends in 0. Let us test multiples of 11 ending in 0 (which are multiples of 110): 110, 220, 330, 440, etc. Case 1: tt0 = 110 => p + q + r = 10. Since p < q < r and p, q, r are distinct digits from 1 to 9, let's find combinations for p + q + r = 10: - 1 + 2 + 7 = 10 (p=1, q=2, r=7) - 1 + 3 + 6 = 10 (p=1, q=3, r=6) - 1 + 4 + 5 = 10 (p=1, q=4, r=5) - 2 + 3 + 5 = 10 (p=2, q=3, r=5) Case 2: tt0 = 220 => p + q + r = 20. Combinations for p + q + r = 20 with distinct p < q < r (1 <= p, q, r <= 9): Max possible sum of 3 distinct digits is 7 + 8 + 9 = 24. Let's find combinations summing to 20: - 3 + 8 + 9 = 20 (p=3, q=8, r=9) - 4 + 7 + 9 = 20 (p=4, q=7, r=9) - 5 + 6 + 9 = 20 (p=5, q=6, r=9) - 5 + 7 + 8 = 20 (p=5, q=7, r=8) Case 3: tt0 = 330 => p + q + r = 30. But max sum of 3 distinct single digits is 7+8+9 = 24, so sum 30 is impossible. Thus, possible sums for (p + q + r) are 10 or 20. Let us list all valid sets of (p, q, r) satisfying p < q < r and p+q+r = 10 or 20: For sum = 10: 1. (1, 2, 7) 2. (1, 3, 6) 3. (1, 4, 5) 4. (2, 3, 5) For sum = 20: 5. (3, 8, 9) 6. (4, 7, 9) 7. (5, 6, 9) 8. (5, 7, 8) Total 8 valid sets of (p, q, r). Now let us check Statement 1: 'The number of possible values of p is 5.' Looking at the values of p across the 8 sets: 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5. The distinct possible values of p are 1, 2, 3, 4, 5. That is exactly 5 possible values! Thus Statement 1 is correct. Now let us check Statement 2: 'The number of possible values of q is 6.' Looking at the values of q across the 8 sets: 2, 3, 4, 3, 8, 7, 6, 7. The distinct possible values of q are 2, 3, 4, 6, 7, 8. That is exactly 6 possible values! Thus Statement 2 is correct. Therefore, both Statement 1 and Statement 2 are correct. Option (c) is correct.