एक प्रश्न दिया गया है जिसके बाद दो कथन I और II दिए गए हैं। प्रश्न और कथनों पर विचार कीजिए।
प्रश्न:
m और n के मान क्या हैं, जहाँ m और n धनपूर्णांक संख्याएँ हैं?
कथन-I:
m + n > mn और m > n.
कथन-II:
m और n का गुणनफल 24 है।
उपर्युक्त प्रश्न और कथनों के संबंध में, निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?
सही उत्तर: (c) प्रश्न का उत्तर, दोनों कथनों का एक-साथ प्रयोग कर दिया जा सकता है, किन्तु अकेले किसी भी एक कथन का प्रयोग कर नहीं दिया जा सकता है
हमें धन पूर्णांक m और n के मान ज्ञात करने हैं। कथन-I से: m + n > mn और m > n. धन पूर्णांकों के लिए यदि m, n ≥ 2 हो, तो सदैव mn ≥ m + n होता है। अतः m + n > mn होने के लिए कम से कम एक संख्या का 1 होना आवश्यक है। चूँकि m > n है, इसलिए अनिवार्य रूप से n = 1 होगा और m > 1 होगा। परंतु इससे m का निश्चित मान ज्ञात नहीं होता, अतः कथन-I अकेला पर्याप्त नहीं है। कथन-II से: mn = 24. इसके कई गुणनखंड युग्म संभव हैं जैसे (24, 1), (12, 2), (8, 3), (6, 4) आदि। अतः यह भी अकेला पर्याप्त नहीं है। दोनों कथनों को मिलाने पर: कथन-I से हमें n = 1 प्राप्त होता है। इसे कथन-II में रखने पर m × 1 = 24 यानी m = 24 प्राप्त होता है। इससे अद्वितीय मान (m=24, n=1) प्राप्त हो जाते हैं। अतः सही विकल्प (c) है।
In English (Question & Model Answer)
A Question is given followed by two Statements I and II. Consider the Question and the Statements.
Question:
What are the values of m and n, where m and n are natural numbers?
Statement-I:
m + n > mn and m > n.
Statement-II:
The product of m and n is 24.
Which one of the following is correct in respect of the above Question and the Statements?
Correct Option: (c) The Question can be answered by using both the Statements together, but cannot be answered using either Statement alone
We are asked to find the values of natural numbers m and n. From Statement-I: m + n > mn and m > n. For natural numbers, if both m, n ≥ 2, we must have mn ≥ m + n. The inequality m + n > mn can only hold if at least one of the numbers is 1. Since m > n, we must have n = 1. Thus, Statement-I implies n = 1 and m > 1, but we do not know the exact value of m. Hence, Statement-I alone is insufficient. From Statement-II: mn = 24. There are multiple factor pairs for 24, such as (24, 1), (12, 2), (8, 3), and (6, 4). Hence, Statement-II alone is insufficient. Combining both statements: We have mn = 24 and from Statement-I, we must have n = 1. Substituting n = 1 gives m × 1 = 24, which means m = 24. This yields a unique solution: m = 24, n = 1. Thus, both statements together are sufficient. Hence, the correct option is (c).