एक प्रश्न दिया गया है जिसके बाद दो कथन I और II दिए गए हैं। प्रश्न और कथनों पर विचार कीजिए।
प्रश्न:
x और y के अद्वितीय मान क्या हैं जहाँ x, y भिन्न धनपूर्णांक हैं?
कथन-I: x / y विषम है।
कथन-II: xy = 12
उपर्युक्त प्रश्न और कथनों के संबंध में, निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?
सही उत्तर: (c) प्रश्न का उत्तर, दोनों कथनों का एक-साथ प्रयोग कर दिया जा सकता है, किंतु अकेले किसी भी एक कथन का प्रयोग कर नहीं दिया जा सकता है
हमें भिन्न धन पूर्णांकों x और y के अद्वितीय मान ज्ञात करने हैं। कथन-I से: x / y विषम है। इसके कई हल हो सकते हैं, जैसे (3, 1), (6, 2) आदि। अतः कथन-I अकेला पर्याप्त नहीं है। कथन-II से: xy = 12. चूँकि x और y भिन्न धन पूर्णांक हैं, इसके संभावित युग्म (1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1) हैं। अतः कथन-II भी अकेला पर्याप्त नहीं है। दोनों कथनों को मिलाने पर: हमें xy = 12 के गुणनखंडों में से ऐसा युग्म चुनना है जहाँ x/y विषम पूर्णांक हो। जाँच करने पर: केवल (6, 2) ही ऐसा युग्म है जहाँ 6/2 = 3 (एक विषम संख्या) प्राप्त होती है। अन्य सभी मामलों में परिणाम या तो भिन्न हैं या सम संख्या हैं। अतः हमें x = 6 और y = 2 का अद्वितीय हल प्राप्त होता है। इसलिए दोनों कथन मिलकर पर्याप्त हैं। सही विकल्प (c) है।
In English (Question & Model Answer)
A Question is given followed by two Statements I and II. Consider the Question and the Statements.
Question:
What are the unique values of x and y, where x, y are distinct natural numbers?
Statement-I: x / y is odd.
Statement-II: xy = 12
Which one of the following is correct in respect of the above Question and the Statements?
Correct Option: (c) The Question can be answered by using both the Statements together, but cannot be answered using either Statement alone
We need to determine the unique values of distinct natural numbers x and y. From Statement-I: x / y is odd. This can be satisfied by infinitely many pairs of distinct natural numbers, such as (3, 1), (6, 2), or (15, 3). Thus, Statement-I alone is insufficient. From Statement-II: xy = 12. Since x and y are distinct natural numbers, the possible factor pairs for (x, y) are (1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), and (12, 1). Thus, Statement-II alone is insufficient. Combining both statements together: We must find a pair from the factors of 12 where x/y is an odd integer. Let us test the pairs: For (1, 12): 1/12 is not an integer. For (2, 6): 2/6 = 1/3 is not an integer. For (3, 4): 3/4 is not an integer. For (4, 3): 4/3 is not an integer. For (6, 2): 6/2 = 3, which is an odd integer. For (12, 1): 12/1 = 12, which is an even integer. The only pair satisfying both statements is x = 6, y = 2. Thus, both statements together uniquely determine the values. Hence, the correct option is (c).