एक प्रश्न दिया गया है जिसके बाद दो कथन I और II दिए गए हैं। प्रश्न और कथनों पर विचार कीजिए।
प्रश्न: क्या (x + y) एक पूर्णांक है?
कथन-I: (2x + y) एक पूर्णांक है।
कथन-II: (x + 2y) एक पूर्णांक है।
उपर्युक्त प्रश्न और कथनों के संबंध में, निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?
सही उत्तर: (d) प्रश्न का उत्तर, दोनों कथनों का एक-साथ प्रयोग कर भी नहीं दिया जा सकता
हमें यह निर्धारित करना है कि क्या (x + y) एक पूर्णांक है। कथन-I से: (2x + y) एक पूर्णांक है। यदि x = 0.5, y = 0 लें, तो 2x + y = 1 (पूर्णांक) है, परन्तु x + y = 0.5 (पूर्णांक नहीं) है। यदि x = 1, y = 1 लें, तो 2x + y = 3 (पूर्णांक) और x + y = 2 (पूर्णांक) है। अतः कथन-I पर्याप्त नहीं है। कथन-II से: (x + 2y) एक पूर्णांक है। यहाँ भी यदि x = 0, y = 0.5 लें, तो x + 2y = 1 (पूर्णांक) है, परन्तु x + y = 0.5 (पूर्णांक नहीं) है। अतः कथन-II पर्याप्त नहीं है। दोनों कथनों को मिलाने पर: मान लीजिए 2x + y = I_1 और x + 2y = I_2, जहाँ I_1 और I_2 पूर्णांक हैं। दोनों को जोड़ने पर 3(x + y) = I_1 + I_2 प्राप्त होता है, जिससे x + y = (I_1 + I_2) / 3 होगा। चूँकि दो पूर्णांकों का योग सदैव 3 का गुणज नहीं होता, इसलिए (x + y) एक भिन्न भी हो सकता है (जैसे I_1 = 1, I_2 = 1 होने पर x + y = 2/3)। अतः दोनों कथनों के साथ भी इसका उत्तर नहीं दिया जा सकता। सही विकल्प (d) है।
In English (Question & Model Answer)
A Question is given followed by two Statements I and II. Consider the Question and the Statements.
Question: Is (x + y) an integer?
Statement-I: (2x + y) is an integer.
Statement-II: (x + 2y) is an integer.
Which one of the following is correct in respect of the above Question and the Statements?
Correct Option: (d) The Question cannot be answered even by using both the Statements together
We need to determine if (x + y) is an integer. From Statement-I: (2x + y) is an integer. This is not sufficient. For example, if x = 0.5 and y = 0, then 2x + y = 1 (an integer), but x + y = 0.5 (not an integer). Alternatively, if x = 1 and y = 1, then 2x + y = 3 (an integer) and x + y = 2 (an integer). Thus, Statement-I alone is insufficient. From Statement-II: (x + 2y) is an integer. Similarly, if x = 0 and y = 0.5, then x + 2y = 1 (an integer), but x + y = 0.5 (not an integer). Thus, Statement-II alone is insufficient. Combining both statements: Let 2x + y = I_1 and x + 2y = I_2, where I_1 and I_2 are integers. Adding these equations gives 3x + 3y = I_1 + I_2, which simplifies to x + y = (I_1 + I_2) / 3. Since the sum of two integers (I_1 + I_2) is not necessarily a multiple of 3, (x + y) can be a fraction (e.g., if I_1 = 1, I_2 = 1, then x + y = 2/3, which is not an integer). Therefore, even with both statements, we cannot determine if (x + y) is an integer. Hence, the correct option is (d).