प्रश्न: क्या (p + q - r) बड़ा है (p - q + r) से, जहाँ p, q और r पूर्णांक हैं ?
कथन-1 : (p - q) धनात्मक है ।
कथन-2 : (p - r) ऋणात्मक है ।

उपर्युक्त प्रश्न और कथनों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-सा एक सही है ?

20233Mprelimsupscyear-2023p2quantitative-aptitude
A.इस प्रश्न का उत्तर, दोनों में से किसी एक कथन का अकेले उपयोग कर दिया जा सकता है, किन्तु दूसरे कथन का अकेले उपयोग कर नहीं दिया जा सकता ।
B.इस प्रश्न का उत्तर, दोनों में से किसी भी एक कथन का अकेले उपयोग कर दिया जा सकता है ।
C.इस प्रश्न का उत्तर, दोनों कथनों का एक साथ उपयोग कर दिया जा सकता है, किन्तु दोनों में से किसी एक कथन का अकेले उपयोग कर नहीं दिया जा सकता ।सही
D.इस प्रश्न का उत्तर, दोनों कथनों का एक साथ उपयोग करके भी नहीं दिया जा सकता ।
व्याख्या एवं हल

सही उत्तर: (C) इस प्रश्न का उत्तर, दोनों कथनों का एक साथ उपयोग कर दिया जा सकता है, किन्तु दोनों में से किसी एक कथन का अकेले उपयोग कर नहीं दिया जा सकता ।

प्रश्न असमानता को सरल करने पर: p+q−r>p−q+r  ⟺  2q>2r  ⟺  q>rp + q - r > p - q + r   ⟺  \iff 2q > 2r   ⟺  \iff q > r। कथन 1 से p>qp > q प्राप्त होता है, जो qq और rr का संबंध नहीं बताता (अकेले अपर्याप्त)। कथन 2 से p<rp < r प्राप्त होता है, जो भी अकेले अपर्याप्त है। दोनों कथनों को मिलाने पर q<p<rq < p < r प्राप्त होता है, जिससे निश्चित रूप से सिद्ध होता है कि q<rq < r (अर्थात प्रश्न का निश्चित उत्तर 'नहीं' है)। अतः दोनों कथन मिलकर पर्याप्त हैं, किंतु अकेला कोई कथन पर्याप्त नहीं है।

In English (Question & Model Answer)

Question : Is (p + q - r) greater than (p - q + r), where p, q and r are integers ?
Statement-1 : (p - q) is positive.
Statement-2 : (p - r) is negative.

Which one of the following is correct in respect of the above Question and the Statements ?

A.The Question can be answered by using one of the Statements alone, but cannot be answered using the other Statement alone.
B.The Question can be answered by using either Statement alone.
C.The Question can be answered by using both the Statements together, but cannot be answered using either Statement alone.Correct
D.The Question cannot be answered even by using both the Statements together.

Correct Answer: (C) The Question can be answered by using both the Statements together, but cannot be answered using either Statement alone.

Simplifying the question inequality: p+q−r>p−q+r  ⟺  2q>2r  ⟺  q>rp + q - r > p - q + r   ⟺  \iff 2q > 2r   ⟺  \iff q > r. Statement 1 gives p−q>0  ⟺  p>qp - q > 0   ⟺  \iff p > q, which provides no relationship between qq and rr (insufficient alone). Statement 2 gives p−r<0  ⟺  p<rp - r < 0   ⟺  \iff p < r, which also provides no relationship between qq and rr (insufficient alone). Combining both statements yields q<p<rq < p < r, which definitively proves that q<rq < r (answering the question with a conclusive 'No'). Thus, both statements together are sufficient, but neither alone is sufficient.

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