किसी विद्यालय में प्रत्येक विद्यार्थी को एक विशेष पहचान संख्या नियत की गई है । एक विद्यार्थी फुटबाल का खिलाड़ी है यदि और केवल यदि पहचान संख्या 4 से विभाज्य है, जबकि एक विद्यार्थी क्रिकेट का खिलाड़ी है यदि और केवल यदि पहचान संख्या 6 से विभाज्य है । यदि 1 से 100 तक की प्रत्येक संख्या किसी न किसी विद्यार्थी के लिए नियत की गई है, तो उनमें से कितने विद्यार्थी क्रिकेट के साथ-साथ फुटबाल भी खेलते हैं?
सही उत्तर: विकल्प (B)
दोनों खेल खेलने वाले छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हमें यह निर्धारित करना होगा कि 1 से 100 तक की कितनी पहचान संख्याएँ (IDs) 4 (फुटबॉल) और 6 (क्रिकेट) दोनों से विभाज्य हैं। कोई संख्या 4 और 6 दोनों से केवल और केवल तभी विभाज्य होती है जब वह उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का गुणज हो।
- चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करना: 4 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 12 है। अतः, कोई छात्र दोनों खेल तब खेलता है जब उसकी पहचान संख्या 12 की गुणज हो।
- चरण 2: संख्या की गणना करना: 1 से 100 के बीच 12 के गुणजों की संख्या पूर्णांक विभाजन 100 / 12 = 8 द्वारा प्राप्त होती है। ये पहचान संख्याएँ 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 और 96 हैं।
- विकल्प (A) - 4: गलत है। यह वास्तविक उभयनिष्ठ गुणजों के केवल एक उपसमुच्चय (subset) को दर्शाता है।
- विकल्प (B) - 8: सही है। ठीक 8 छात्रों की पहचान संख्याएँ 12 से विभाज्य हैं।
- विकल्प (C) - 10: गलत है। यह गुणजों की वास्तविक संख्या का अतिआकलन करता है।
- विकल्प (D) - 12: गलत है। यह स्वयं लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का मान है, न कि 100 के भीतर इसके गुणजों की संख्या।
In English (Question & Model Answer)
In a school every student is assigned a unique identification number. A student is a football player if and only if the identification number is divisible by 4, whereas a student is a cricketer if and only if the identification number is divisible by 6. If every number from 1 to 100 is assigned to a student, then how many of them play cricket as well as football?
Correct Answer: Option (B)
To find the number of students who play both sports, we need to determine how many identification numbers from 1 to 100 are divisible by both 4 (football) and 6 (cricket). A number is divisible by both 4 and 6 if and only if it is a multiple of their Least Common Multiple (LCM).
- Step 1: Find the LCM: The LCM of 4 and 6 is 12. Therefore, a student plays both sports if their ID is a multiple of 12.
- Step 2: Calculate the count: The number of multiples of 12 between 1 and 100 is given by the integer division 100 / 12 = 8. These IDs are 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, and 96.
- Option (A) - 4: Incorrect. This represents only a subset of the actual common multiples.
- Option (B) - 8: Correct. Exactly 8 students have IDs that are divisible by 12.
- Option (C) - 10: Incorrect. This overestimates the actual count of multiples.
- Option (D) - 12: Incorrect. This is the value of the LCM itself, not the count of its multiples within 100.