किसी वृत्त की परिधि पर समान दूरी पर 24 बिंदुएँ हैं। इनमें से शीर्ष के रूप में तीन बिंदुओं के समुच्चयों से अधिकतम कितने समबाहु त्रिभुज बन सकते हैं?
सही उत्तर: 8
एक वृत्त की परिधि पर स्थित बिंदुओं से समबाहु त्रिभुज बनाने के लिए, तीनों शीर्षों के बीच समान दूरी (कोण) होनी चाहिए। वृत्त पर समान दूरी पर 24 बिंदु स्थित हैं। वृत्त का कुल कोण 360 डिग्री होता है, इसलिए किन्हीं दो निकटवर्ती बिंदुओं के बीच की कोणीय दूरी 360 / 24 = 15 डिग्री है। एक समबाहु त्रिभुज वृत्त को 120 डिग्री के तीन बराबर भागों में विभाजित करता है। अतः, समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष के बीच 120 / 15 = 8 बिंदुओं का अंतर होना चाहिए। यदि हम 24 बिंदुओं को 1 से 24 तक अंकित करें, तो हम पहले शीर्ष के रूप में किसी भी बिंदु i को चुन सकते हैं। अन्य दो शीर्ष i + 8 और i + 16 होंगे। चूँकि प्रत्येक समबाहु त्रिभुज विशिष्ट रूप से तीन शीर्षों द्वारा परिभाषित होता है, हम शुरुआती बिंदु को केवल 1 से 8 तक चुन सकते हैं। बिंदु 9 से शुरू करने पर वही त्रिभुज दोहराए जाएंगे। इस प्रकार, बनने वाले समबाहु त्रिभुजों की अधिकतम संख्या 8 है। अतः विकल्प C सही उत्तर है।
In English (Question & Model Answer)
There are 24 equally spaced points lying on the circumference of a circle. What is the maximum number of equilateral triangles that can be drawn by taking sets of three points as the vertices?
Correct Option: 8
To form an equilateral triangle using points on a circle's circumference, the three vertices must be equally spaced along the circumference. The circle has 24 equally spaced points. Since the total angle of a circle is 360 degrees, the angular separation between any two adjacent points is 360 / 24 = 15 degrees. An equilateral triangle divides the circle's 360 degrees into three equal parts of 120 degrees each. Thus, the vertices of an equilateral triangle must be separated by 120 / 15 = 8 points. If we number the 24 points from 1 to 24, we can choose any point i as the first vertex. The remaining two vertices will then be i + 8 and i + 16 (where numbers wrap around after 24). Since each set of 3 vertices uniquely defines one equilateral triangle, we can choose the starting vertex from points 1 to 8. Choosing a starting vertex from 9 to 24 will simply repeat the same triangles. Thus, the maximum number of equilateral triangles is 8. This corresponds to Option C.