कुछ 2-अंकीय संख्याएँ हैं। इन संख्याओं और इनके अंकों को उलट देने पर बनने वाली संख्याओं का अंतर सदैव 27 रहता है। ऐसी अधिकतम कितनी 2-अंकीय संख्याएँ हैं?
सही उत्तर: उपर्युक्त में से कोई नहीं
माना कि दो अंकों की संख्या 10x + y है, जहाँ x दहाई का अंक (1 से 9) और y इकाई का अंक (0 से 9) है। अंकों को उलटने पर प्राप्त संख्या 10y + x होगी। मूल संख्या और उलटी हुई संख्या के बीच का अंतर 27 दिया गया है। इसलिए, समीकरण होगा: | (10x + y) - (10y + x) | = 27, जिसे सरल करने पर | 9(x - y) | = 27 प्राप्त होता है, अर्थात | x - y | = 3। इससे दो स्थितियाँ बनती हैं: x - y = 3 या y - x = 3। यदि x - y = 3 हो, तो संभावित युग्म (x, y) हैं: (3,0), (4,1), (5,2), (6,3), (7,4), (8,5), और (9,6), जिससे 7 संख्याएँ मिलती हैं। यदि y - x = 3 हो, तो संभावित युग्म हैं: (1,4), (2,5), (3,6), (4,7), (5,8), और (6,9), जिससे 6 संख्याएँ मिलती हैं। कुल मिलाकर ऐसी 12 या 13 संख्याएँ संभव हैं। चूँकि यह संख्या विकल्पों में दी गई संख्या 3, 4, या 5 से अधिक है, इसलिए सही उत्तर विकल्प D (उपर्युक्त में से कोई नहीं) होगा।
In English (Question & Model Answer)
There are certain 2-digit numbers. The difference between the number and the one obtained on reversing it is always 27. How many such maximum 2-digit numbers are there?
Correct Option: None of the above
Let the two-digit number be represented as 10x + y, where x is the tens digit (from 1 to 9) and y is the units digit (from 0 to 9). On reversing the digits, the new number formed is 10y + x. The absolute difference between the original number and the reversed number is given as 27. Therefore, we have the equation: | (10x + y) - (10y + x) | = 27, which simplifies to | 9(x - y) | = 27, or | x - y | = 3. This yields two scenarios: x - y = 3 or y - x = 3. If x - y = 3, the possible pairs (x, y) are (3,0), (4,1), (5,2), (6,3), (7,4), (8,5), and (9,6), giving 7 numbers. If y - x = 3, the possible pairs are (1,4), (2,5), (3,6), (4,7), (5,8), and (6,9), giving 6 numbers. In total, there are either 12 or 13 such numbers. Since this count is much greater than 3, 4, or 5, the correct answer is Option D (None of the above).