एक कॉलेज में पांच हॉबी क्लब हैं-फोटोग्राफी, नीकाविहार, शतरंज, इलेक्ट्रॉनिकी और बागबानी। बागबानी दल हर दूसरे दिन एकत्र होता है, इलेक्ट्रॉनिकी दल हर तीसरे दिन एकत्र होता है, शतरंज दल हर चौथे दिन एकत्र होता है, नीकाविहार दल हर पांचवे दिन एकत्र होता है और फोटोग्राफी दल हर छठे दिन एकत्र होता है। 180 दिनों में सभी पांचों दल एक ही दिन में कितनी बार एकत्र हुए ?
सही उत्तर: (d) 3
सभी पाँचों हॉबी क्लबों के एक ही दिन मिलने के दिनों को ज्ञात करने के लिए, हमें उनके एकत्र होने के दिनों के अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करना होगा। अंतराल इस प्रकार हैं: - बागबानी: प्रत्येक दूसरे दिन (2) - इलेक्ट्रॉनिकी: प्रत्येक तीसरे दिन (3) - शतरंज: प्रत्येक चौथे दिन (4) - नौकाविहार: प्रत्येक पाँचवे दिन (5) - फोटोग्राफी: प्रत्येक छठे दिन (6) संख्याओं 2, 3, 4, 5, और 6 का LCM निकालते हैं: - 2 = 2 - 3 = 3 - 4 = 2 × 2 - 5 = 5 - 6 = 2 × 3 LCM = 2 × 2 × 3 × 5 = 60। इसका अर्थ है कि सभी पाँचों दल हर 60वें दिन एक साथ मिलेंगे। 180 दिनों की अवधि के भीतर, वे 60वें दिन, 120वें दिन और 180वें दिन एक साथ मिलेंगे। अतः वे कुल मिलाकर 3 बार एक साथ मिलेंगे। विकल्प (d) सही उत्तर है।
In English (Question & Model Answer)
There are five hobby clubs in a college — photography, yachting, chess, electronics and gardening. The gardening group meets every second day, the electronics group meets every third day, the chess group meets every fourth day, the yachting group meets every fifth day and the photography group meets every sixth day. How many times do all the five groups meet on the same day within 180 days ?
Correct Option: (d) 3
To find the days on which all five hobby groups meet together, we need to find the Least Common Multiple (LCM) of their meeting intervals. The intervals are: - Gardening: every 2nd day - Electronics: every 3rd day - Chess: every 4th day - Yachting: every 5th day - Photography: every 6th day Let us find the LCM of 2, 3, 4, 5, and 6: - Prime factorization of 2 = 2 - Prime factorization of 3 = 3 - Prime factorization of 4 = 2 × 2 - Prime factorization of 5 = 5 - Prime factorization of 6 = 2 × 3 The LCM is 2 × 2 × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60. Thus, all five groups meet together on the same day every 60 days. Within a total of 180 days, the common meetings will occur on the 60th day, the 120th day, and the 180th day. This gives a total of exactly 3 times. Hence, option (d) is the correct answer.