एक पट्टी पर 4 क्षैतिज और 4 ऊर्ध्वाधर रेखाएँ हैं, जो परस्पर समान्तर और समदूरस्थ हैं। इनसे अधिकतम कितने आयत और वर्ग बनाए जा सकते हैं?
सही उत्तर: 36
पट्टी पर 4 क्षैतिज रेखाएँ और 4 ऊर्ध्वाधर रेखाएँ हैं जो परस्पर समानांतर और समदूरस्थ हैं। इस पट्टी पर कोई भी आयत या वर्ग बनाने के लिए हमें ठीक 2 क्षैतिज रेखाओं (उपलब्ध 4 में से) और ठीक 2 ऊर्ध्वाधर रेखाओं (उपलब्ध 4 में से) का चयन करना होता है। 4 क्षैतिज रेखाओं में से 2 क्षैतिज रेखाओं को चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र द्वारा प्राप्त होती है: 4C2 = (4 × 3) ÷ (2 × 1) = 6 तरीके। इसी प्रकार, 4 ऊर्ध्वाधर रेखाओं में से 2 ऊर्ध्वाधर रेखाओं को चुनने के तरीकों की संख्या है: 4C2 = 6 तरीके। बनाए जा सकने वाले आयतों और वर्गों की कुल संख्या इन स्वतंत्र चयनों का गुणनफल होगी: कुल आयत और वर्ग = 4C2 × 4C2 = 6 × 6 = 36. इस प्रकार, निर्मित किए जा सकने वाले आयतों और वर्गों की अधिकतम संख्या 36 है। अतः सही विकल्प C है।
In English (Question & Model Answer)
There are 4 horizontal and 4 vertical lines, parallel and equidistant to one another on a board. What is the maximum number of rectangles and squares that can be formed?
Correct Option: 36
We have a grid formed by 4 horizontal lines and 4 vertical lines that are parallel and equidistant on a board. Any rectangle or square on this board is formed by selecting exactly 2 horizontal lines (out of the 4 available) and exactly 2 vertical lines (out of the 4 available). The number of ways to choose 2 horizontal lines from 4 is given by the combination formula: 4C2 = 4! ÷ (2! × (4-2)!) = (4 × 3) ÷ (2 × 1) = 6 ways. Similarly, the number of ways to choose 2 vertical lines from 4 is: 4C2 = 6 ways. The total number of rectangles (which mathematically includes squares) that can be formed is the product of these independent choices: Total Rectangles and Squares = 4C2 × 4C2 = 6 × 6 = 36. Thus, the maximum number of rectangles and squares that can be formed is 36. Therefore, the correct option is C.