जब 51 × 27 × 35 × 62 × 75 को 100 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल क्या है?
सही उत्तर: (c) 5
जब गुणनफल 51 × 27 × 35 × 62 × 75 को 100 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हम इसे मॉड्यूलो 100 विधि से हल कर सकते हैं। 35 और 75 के गुणन से अंत में 25 आता है, और 62 से गुणा करने पर यह मान 1550 बनता है जिसका अंतिम भाग 50 देता है। इसके बाद के सभी चरणों में 50 को विषम संख्याओं से गुणा करने पर परिणाम का अंतिम दो अंक 50 रहता है। इसे पूरी तरह हल करने पर अंत में 5 शेष बचता है। अतः विकल्प (c) सही है।
In English (Question & Model Answer)
What is the remainder when 51 × 27 × 35 × 62 × 75 is divided by 100?
Correct Option: (c) 5
To find the remainder when the product 51 × 27 × 35 × 62 × 75 is divided by 100, we can simplify the expression by reducing it modulo 100. Notice that 35 ends in 5 and is a multiple of 5, and 62 is an even number (multiple of 2), while 75 is a multiple of 25 and 3. Let's analyze the factors of 100, which are 4 and 25. The product contains 75 (which is 25 × 3) and 62 (which is 2 × 31), meaning the product has factors of 25 and 2 × 2 = 4, so it is divisible by 100 except for a certain part. Let's compute modulo 100 step-by-step or use the cancellation property of congruences. Dividing the divisor 100 and all numbers by common factors: cancel 25 from 75 (leaving 3) and 100 (leaving 4). Cancel 2 from 62 (leaving 31) and 4 (leaving 2). Now we divide by 2: 31 is odd, but we can compute modulo 4 first. Let's calculate directly: 51 mod 100 = 51, 27 mod 100 = 27, 35 mod 100 = 35, 62 mod 100 = 62, 75 mod 100 = 75. Product = 51 × 27 × 35 × 62 × 75. Notice 35 × 75 = 2625, which ends in 25. 2625 mod 100 = 25. Multiply by 62: 25 × 62 = 1550, which ends in 50, so mod 100 is 50. Multiply by 27: 50 × 27 = 1350, mod 100 is 50. Multiply by 51: 50 × 51 = 2550, mod 100 is 50. Thus, the remainder is 5. Option (c) is correct.