अनुक्रम 3, 14, 39, 84, *, 258 में * के स्थान पर क्या आएगा?
सही उत्तर: (b) 155
दी गई श्रेणी का विश्लेषण करने पर: 3, 14, 39, 84, *, 258. क्रमागत पदों के बीच का अंतर निकालने पर: 14 - 3 = 11; 39 - 14 = 25; 84 - 39 = 45. अब, इन अंतरों के बीच का अंतर (द्वितीय-स्तर का अंतर) ज्ञात करते हैं: 25 - 11 = 14; 45 - 25 = 20. द्वितीय-स्तर के अंतर (14, 20) में प्रत्येक बार 6 की वृद्धि हो रही है। यदि यह स्वरूप जारी रहता है, तो अगला द्वितीय-स्तर का अंतर 20 + 6 = 26 होगा। अतः, अगला प्रथम-स्तर का अंतर 45 + 26 = 71 होना चाहिए। इस प्रकार, लुप्त पद (*) का मान 84 + 71 = 155 होगा। सत्यापन के लिए, अगला द्वितीय-स्तर का अंतर 26 + 6 = 32 होगा, जिससे अगला प्रथम-स्तर का अंतर 71 + 32 = 103 होगा। इस प्रकार अगला पद 155 + 103 = 258 प्राप्त होता है, जो श्रेणी के अंतिम पद से मेल खाता है। वैकल्पिक रूप से, पदों को n × (n^2 + n + 1) सूत्र द्वारा भी निकाला जा सकता है, जिससे n = 5 के लिए मान 155 प्राप्त होता है। अतः विकल्प (b) सही है।
In English (Question & Model Answer)
What will come in place of * in the sequence 3, 14, 39, 84, *, 258?
Correct Option: (b) 155
We can analyze the given sequence: 3, 14, 39, 84, *, 258. Let us look at the differences between successive terms: 14 - 3 = 11; 39 - 14 = 25; 84 - 39 = 45. Now, we find the second-level differences (differences of these differences): 25 - 11 = 14; 45 - 25 = 20. The second-level differences are 14 and 20, which increase by a constant 6. Following this pattern, the next second-level difference will be 20 + 6 = 26. Thus, the next first-level difference will be 45 + 26 = 71. Therefore, the missing term (*) will be 84 + 71 = 155. To verify, the next second-level difference will be 26 + 6 = 32. The next first-level difference will be 71 + 32 = 103. The term after 155 will be 155 + 103 = 258, which matches the final term of the sequence. Alternatively, the terms are generated by the formula n × (n^2 + n + 1) for n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, which yields 3, 14, 39, 84, 155, 258. Thus, the correct answer is 155.